I Stand Up For Myself

這是一個數學問題，就是 1+1/2+1/3+1/4+ ...

一直加下去，到最後要有多大就有多大（無限大）

同樣的，如果不限制骨牌能疊多高，理論上最上面那張（在水平方向上）可以離基座無限遠！

最後一張圖，我拿了條縫衣服的針+線來充當鉛垂線，

可以看出，最上面那塊骨牌其實已經整塊凸出去超過基座了！

2024/10: 當初真的很懶的講解，現在回頭看覺得好像還是該講解一下XD

接下來我們稍微講一下它的原理～

會用到簡單的高中物理跟基本的數學，不用太擔心！

A. 兩塊骨牌

首先假設有兩塊骨牌；上面那塊疊上去後，往左移動一小段距離（如圖）

我們想問的問題是：「頂端的骨牌，最多可以離最底下的骨牌多遠？」

當然，圖中其實已經有答案了XD   就是滑動 1/2 骨牌的距離。

為什麼呢？

這就是「重心」的概念。

第一塊骨牌的重心在它的正中央，也就是有畫一個「下」箭頭的地方。

那個箭頭必須「站」在第二塊骨牌上面！

就好像一個人的重心，在人的身體正中央一樣，

他/她的重心必須位在兩個腳掌的連線的正上方，否則就會跌倒。

因此，第一塊骨牌最多往左移動 1/2 的距離。

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不只單一一塊骨牌有重心，

當兩塊疊在一起以後，我們也可以計算「整體的重心」，其實說穿了就是取平均！

第一塊的重心在 X 軸 X=1 的位置（看上面那張圖），第二塊在 X=0.5 的位置，

取平均的話就是 X = (1.5/2) = 0.75 的位置。

B. 三張骨牌

剛剛我們有算過，「兩張骨牌的重心」位在第二張骨牌從右邊數來，0.75 的位置。（也就是圖中有畫一個小小的刻度）

想像一下，這個地方有一個向「下」的箭頭。

請問，此箭頭是否有站在第三張骨牌上面？

圖中可以看到，第二跟第三張中間差了 1/4，也就是 0.25，

所以沒有錯！此箭頭是剛好站在邊邊，再多一點點重心就會跑出去，前兩張骨牌就會跌倒。

因此，這就是三張骨牌最大的橫向移動距離了。

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按照慣例，我們來計算一下「三張骨牌的重心」。

第一張的重心位在 X=1.25，第二張的重心位在 X=0.75，第三張則是 X=0.5，

三者的平均就是在 X = (2.5/3) = 0.83 左右。

C. 四張骨牌

按照慣例，我們還是先檢查一下會不會掉下去吧！

「三張骨牌的重心」位在第三張骨牌從右邊數來，0.83 的位置。

圖中可見，第三、第四張中間差了 1/6，也就是 0.17。

因此，圖中的狀況剛好就位在臨界點，也就是四張骨牌所能移動的最大距離！

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因為 X 軸的位置又變了，所以座標的數字都要重寫（其實就是全部加上 1/6）

接下來要算「四張骨牌的重心」：

  * 第一張 X=1.25+(1/6)

  * 第二張 X=0.75+(1/6)

  * 第三張 X=0.5+(1/6)

  * 第四張 X=0.5

平均的話就是 X = (3.5/4) = 0.87。

D. 找出規律

看到這邊，你大概已經掌握了節奏，

就是一直不斷重複剛剛的步驟，然後驗證每多一張骨牌，上面的都不會掉下去。

如果一直疊到了九張骨牌，狀況會像是這樣：

有沒有發現？前兩張中間差了 1/2

第二、三張中間差了 1/6

第三、四張中間差了 1/8

因此，它是一個 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + ... 的數列。

這跟我們文章一開頭提到的「調和級數」是一樣的，只是少了一半。

既然「調和級數」加總起來是無限大，那麼它的一半自然也是無限大。

換句話說，骨牌如果一直疊上去，最上面那張跟最底下那張的差距，可以是無限大！

但畢竟這都只是理論，

如果想要用骨牌橫跨台灣海峽的話，我看底下的骨牌會先被重量壓碎吧XD