我以前一直在想一個問題，
就是關於先上山再下山，求平均速率，類似這種的問題，
我記得這好像是國高中物理考卷上面出現的題目吧？XD
總覺得很神奇，「先上斜坡，再下斜坡」，最後所花的時間到底會比，「從頭到尾都是平地」，來得長還是來得短？？
於是乎，就做了底下簡單的分析：
1. 小山丘
假設有一顆小球，用很快的速度從 A 滾到 B，
一條路徑是走平地，另一條路徑是先上坡再下坡，走一個小山丘。
最後所花的時間，哪條路徑會比較少呢？
首先，能量會守恆，這點我們都知道，所以小山丘的路徑，最後下山的速度，會跟上山前一樣快，
也就是說，它的速度會先從原本的 V，一直往下掉，然後再往上爬升，最後恢復到 V。而平地的就是從頭到尾都是 V 的速度。
畫成 v-t 圖，可能會像這樣：
而我們知道，v-t 圖底下的面積，就是行走的距離 d=vt，
很明顯的，小山丘這一條路，比平地的路還要長（三角形兩邊和>第三邊），
而它的速度又沒有全程都維持滿檔 (V)，所以想必需要花更長的時間了！
（因為 D=Vt，距離比較長，速度又比較慢，時間就需要花更多）
QED
2. 小山谷
那換一種狀況，如果是小山谷呢？
也就是先下坡再上坡，哪條路徑比較快呢？
小山谷的路線，會先加速再減速，所以 v-t 圖會變成往上凸的兩個小三角形拼起來的形狀，跟之前相反
而我們知道 能量會守恆，所以上坡完的速度會回到 V，跟長方形的速度一樣。大概會像這樣：
而右邊的面積會比較大，因為面積就是行走的距離，
但是它的速度中途卻會超過原本的 V，
這樣一來，D=Vt，距離變大，速度也變大，似乎就無法判斷 t 會比原本的多還是少了...
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看來，我們就需要進一步分析討論了～
想想看，右邊那張圖的平均速度 V' 會等於 (最高點Vmax + 一開始V)/2，取平均嘛～
而它的面積 D' 會比原本的還要大，D' > D，
這就是我們卡住的地方，因為 t=D'/V'，D' 變大，V' 也變大，所以才不曉得兩個相除會變大還是變小...
那我們何不試著把 V' 先變成兩倍，然後看看 D' 會變成 1.大於兩倍、2.小於兩倍、3.等於兩倍呢？
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如果 Vmax = 3V，那麼平均速度 V' = (3V+V)/2 = 2V 就會是兩倍了，
那麼 D' 會變成多少倍呢？
還記得一條公式 Vf 2 - Vi 2 = 2aX，是用在穩定的等加速度 a 底下，移動了 X 距離的狀況（是從動能+位能公式推導出來的）
而小山谷這個 case，它是屬於等加速度，因為是一條直直的斜坡。
從一開始的 V，加速到最快時的 3V，代進去會得到 (3V)2 - (V)2 = 2aX
至於 a 和 X，我們可以有兩種看法，像是下面兩張圖：
如果用左邊那張，a 會等於重力 g 在斜邊上的分量，這感覺好難算>< 要用到 sin cos，還是算了～XD
如果用右邊那張，a 就會直接等於 g 了！不過 X 是垂直的高度，並不等於路的長度，這部分還需要處理一下～
先來想想，如果 D' 要變成兩倍，那麼 X 要是多少才行？（假設 D' 變成兩倍）
原本從 A點~B點 的距離是 D，(而下坡部分只有一半的 D)，所以根據勾股定理: X2 + (D/2)2 = D' 2
如果 D' 要是兩倍的話，X 要等於 √(7/3) 倍的 D 才可以～
代進剛剛的公式，(3V)2 - (V)2 = 2aX，會得到
8V2 = 2g √(7/3) D
V = √( gD √(7/3) / 4 ) （注意 V 是一開始的速度，並不是 V' 喔）
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計算完了，來看看我們得到了些什麼？
1. 我們剛剛打算把 V' 變成兩倍，然後看看 D' 會變成幾倍。
2. 而之後我們又做了另一個假設，假設 D' 剛好等於兩倍，(也就是第3種情況)，那麼初始速度 V 就需要等於那一坨東東。
可能有人就會覺得奇怪，為什麼還要做第二個假設呢？(因為直接算 D' 會變幾倍不太好算啦><) 做這個假設有什麼用處嗎？
其實用處就是，是可以直接拿這個結果回推的！（這部份需要用點邏輯！）
先來看看，如果初速 V 大於那一坨東東會發生什麼事呢？
這樣一來，把 V 代進去這個公式左邊: Vf 2 - Vi 2 = 2aX，會得到比剛剛更大的 X，然後用勾股定理回推，就會得到比兩倍還大的 D'（看吧！這樣就間接得到 D' 了）
反過來說，如果 V 小於那一坨東東，代進去公式，會得到比較小的 X，回推會得到比兩倍還小的 D' ！
意思是，D' 會比兩倍還大或還小，取決於初速 V 是否大於那一坨東東！
而當 V' 變為兩倍時，D' 如果超過兩倍的話，t=D'/V' 就會大於1，也就是時間會比較長。
我們得到： 當小山谷的平均速度(V')是平地的兩倍時，
如果 V > √( gD √(7/3) / 4 )，小山谷那條路徑所花的時間就會比較長，
如果 V < √( gD √(7/3) / 4 )，小山谷那條花的時間就會比較短。
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但是，我們剛剛討論的都是「假設 V' 變成兩倍」的情況，有些人可能會問 "如果 V' 不是變成兩倍，你怎麼知道結果會一樣？"
那我們就需要討論更一般的 case，假設 V' 變成 n 倍 好了，
也就是最低點時，速度要等於 (n+1)V，取平均才會是 nV，
同樣的手法，假設 D' 也等於 nD，根據勾股定理 X2 + (D/2)2 = (nD)2，
但這次我們求出 n = √(X2/D2 + 1/4)，這是因為多了一個變數 n，但 n 出現在解答裡感覺很不自然，所以我們打算用 X 把它代換掉！
接下來，代進公式 Vf 2 - Vi 2 = 2aX，
((n+1)V)2 - V2 = 2gX
把 n 用 X 代掉，化簡後會得到 V = √( (8gXD2) / (4X2 + D2 + 4D √(4X2 + D2) ) )
如同我們所期待的，它是更大一坨的東東 XDD
但是它的結構也是差不多的，所以 我們可以得到一個一般化的結論：
當 V > 某一個值，小山谷那條路徑花的時間比較長，
當 V < 某一個值，小山谷所花的時間就會比較短。
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終於，得到了我們的結論！解決了「究竟哪一條路徑比較快？」
但是別忘了回過頭來，想想這個結論合不合理？（絕對不是算完了就保證一定正確喔！物理一定要「訴諸常理」才能有深刻的理解！）
如果初始速度超過一個值，為什麼就會比平地來得慢？
回到最開始的 v-t 圖：
如果 V 原本就很快了，那麼要變成兩倍會非常的困難，斜坡要非常非常的深才可以。
而如果原本的 V 不大，要變成兩倍根本是輕而易舉，斜坡不需要太斜，可能根本像是平的。
只有一點點斜，就可以讓平均速度提升到兩倍之多，很顯然 t=D'/V' 就會縮短很多。
斜坡的示意圖可能像這樣：
QED
以上是定性的分析（並不是定量的），因為只想知道會變快還是變慢~
有很多思路和對稱格式的引導，為的是讓它盡可能淺顯易懂，不要太難的數學XD (大概高中程度數學即可)
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