我以前一直在想一個問題,

就是關於先上山再下山,求平均速率,類似這種的問題,

我記得這好像是國高中物理考卷上面出現的題目吧?XD

總覺得很神奇,「先上斜坡,再下斜坡」,最後所花的時間到底會比,「從頭到尾都是平地」,來得長還是來得短??


 

於是乎,就做了底下簡單的分析:

 

1. 小山丘

01  

假設有一顆小球,用很快的速度從 A 滾到 B,

一條路徑是走平地,另一條路徑是先上坡再下坡,走一個小山丘。

最後所花的時間,哪條路徑會比較少呢?

首先,能量會守恆,這點我們都知道,所以小山丘的路徑,最後下山的速度,會跟上山前一樣快,

也就是說,它的速度會先從原本的 V,一直往下掉,然後再往上爬升,最後恢復到 V。而平地的就是從頭到尾都是 V 的速度。

畫成 v-t 圖,可能會像這樣:

  011  

 

而我們知道,v-t 圖底下的面積,就是行走的距離 d=vt

很明顯的,小山丘這一條路,比平地的路還要長(三角形兩邊和>第三邊),

而它的速度又沒有全程都維持滿檔 (V),所以想必需要花更長的時間了!

(因為 D=Vt,距離比較長,速度又比較慢,時間就需要花更多)

QED

 

 

2. 小山谷

02  

那換一種狀況,如果是小山谷呢?

也就是先下坡再上坡,哪條路徑比較快呢?

小山谷的路線,會先加速再減速,所以 v-t 圖會變成往上凸的兩個小三角形拼起來的形狀,跟之前相反

而我們知道 能量會守恆,所以上坡完的速度會回到 V,跟長方形的速度一樣。大概會像這樣:

022  

而右邊的面積會比較大,因為面積就是行走的距離

但是它的速度中途卻會超過原本的 V,

這樣一來,D=Vt,距離變大,速度也變大,似乎就無法判斷 t 會比原本的多還是少了...

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看來,我們就需要進一步分析討論了~

想想看,右邊那張圖的平均速度 V' 會等於 (最高點Vmax + 一開始V)/2,取平均嘛~

而它的面積 D' 會比原本的還要大,D' > D

這就是我們卡住的地方,因為 t=D'/V'D' 變大,V' 也變大,所以才不曉得兩個相除會變大還是變小...

那我們何不試著把 V' 先變成兩倍,然後看看 D' 會變成 1.大於兩倍、2.小於兩倍、3.等於兩倍呢?

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如果 Vmax = 3V,那麼平均速度 V' = (3V+V)/2 = 2V 就會是兩倍了,

那麼 D' 會變成多少倍呢?

還記得一條公式 Vf 2 - Vi 2 = 2aX,是用在穩定的等加速度 a 底下,移動了 X 距離的狀況(是從動能+位能公式推導出來的)

而小山谷這個 case,它是屬於等加速度,因為是一條直直的斜坡。

從一開始的 V,加速到最快時的 3V,代進去會得到 (3V)- (V)= 2aX

 

至於 a 和 X,我們可以有兩種看法,像是下面兩張圖:

02       01  

如果用左邊那張,a 會等於重力 g 在斜邊上的分量,這感覺好難算>< 要用到 sin cos,還是算了~XD

如果用右邊那張,a 就會直接等於 g 了!不過 X 是垂直的高度,並不等於路的長度,這部分還需要處理一下~

 

先來想想,如果 D' 要變成兩倍,那麼 X 要是多少才行?(假設 D' 變成兩倍)

原本從 A點~B點 的距離是 D,(而下坡部分只有一半的 D),所以根據勾股定理: X2 + (D/2)2 = D2

如果 D' 要是兩倍的話,X 要等於 (7/3) 倍的 D 才可以~

代進剛剛的公式,(3V)- (V)= 2aX,會得到

8V= 2g (7/3) D

V = ( gD (7/3) / 4  )    (注意 V 是一開始的速度,並不是 V'

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計算完了,來看看我們得到了些什麼?

1. 我們剛剛打算把 V' 變成兩倍,然後看看 D' 會變成幾倍。

2. 而之後我們又做了另一個假設,假設 D' 剛好等於兩倍,(也就是第3種情況),那麼初始速度 V 就需要等於那一坨東東

可能有人就會覺得奇怪,為什麼還要做第二個假設呢?(因為直接算 D' 會變幾倍不太好算啦><) 做這個假設有什麼用處嗎?

其實用處就是,是可以直接拿這個結果回推的!(這部份需要用點邏輯!)

 

先來看看,如果初速 V 大於那一坨東東會發生什麼事呢?

這樣一來,把 V 代進去這個公式左邊: Vf 2 - Vi 2 = 2aX,會得到比剛剛更大的 X,然後用勾股定理回推,就會得到比兩倍還大D'(看吧!這樣就間接得到 D' 了)

反過來說,如果 V 小於那一坨東東,代進去公式,會得到比較小的 X,回推會得到比兩倍還小D

 

意思是,D' 會比兩倍還大或還小,取決於初速 V 是否大於那一坨東東

而當 V' 變為兩倍時,D' 如果超過兩倍的話,t=D'/V' 會大於1,也就是時間會比較長。

我們得到 當小山谷的平均速度(V')是平地的兩倍時,

如果 V > ( gD (7/3) / 4 ),小山谷那條路徑所花的時間就會比較長,

如果 V < ( gD (7/3) / 4 ),小山谷那條花的時間就會比較短。

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但是,我們剛剛討論的都是「假設 V' 變成兩倍」的情況,有些人可能會問 "如果 V' 不是變成兩倍,你怎麼知道結果會一樣?"

那我們就需要討論更一般的 case假設 V' 變成 n 倍 好了

也就是最低點時,速度要等於 (n+1)V,取平均才會是 nV,

同樣的手法,假設 D' 也等於 nD,根據勾股定理 X2 + (D/2)2 = (nD)2

但這次我們求出 n = (X2/D2 + 1/4),這是因為多了一個變數 n,但 n 出現在解答裡感覺很不自然,所以我們打算用 X 把它代換掉!

接下來,代進公式 Vf 2 - Vi 2 = 2aX,

((n+1)V)2 - V2 = 2gX

把 n 用 X 代掉,化簡後會得到 V = ( (8gXD2) / (4X+ D2 + 4D (4X+ D2) ) )

如同我們所期待的,它是更大一坨的東東 XDD

但是它的結構也是差不多的,所以 我們可以得到一個一般化的結論

當 V > 某一個值,小山谷那條路徑花的時間比較長,

當 V < 某一個值,小山谷所花的時間就會比較短。

 

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終於,得到了我們的結論!解決了「究竟哪一條路徑比較快?」

但是別忘了回過頭來,想想這個結論合不合理?(絕對不是算完了就保證一定正確喔!物理一定要「訴諸常理」才能有深刻的理解!)

如果初始速度超過一個值,為什麼就會比平地來得慢?

回到最開始的 v-t 圖:

022

如果 V 原本就很快了,那麼要變成兩倍會非常的困難,斜坡要非常非常的深才可以。

而如果原本的 V 不大,要變成兩倍根本是輕而易舉,斜坡不需要太斜,可能根本像是平的。

只有一點點斜,就可以讓平均速度提升到兩倍之多,很顯然 t=D'/V' 就會縮短很多。

斜坡的示意圖可能像這樣:

000  

QED

 

 

以上是定性的分析(並不是定量的),因為只想知道會變快還是變慢~

有很多思路和對稱格式的引導,為的是讓它盡可能淺顯易懂,不要太難的數學XD (大概高中程度數學即可)

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留言列表 (1)

發表留言
  • Esther
  • 好仔細的分析!
    但我後面就看不懂了😂
  • 哈哈好吧,那大概是我功力還不夠吧XDD
    (或者可能是第二種狀況比我原本想的還複雜?原本還以為會像第一種狀況很快秒殺的說XD)

    Davidhu127 於 2016/12/04 00:46 回覆